Родился 20 января 1934 года. В 1950-е годы поступил в Московский институт тонкой химической технологии, по окончании которого получил диплом инженера-химика. После вуза, параллельно с работой по полученной специальности, учился музыке, посещая семинар самодеятельных композиторов. Занимался под руководством Филиппа Гершковича и Николая Каретникова. В 1962 году Дашкевич получил второе высшее образование — музыкальное, окончив Музыкально-педагогический институт им. Гнесиных, класс Арама Хачатуряна. В 1991–1993 годах возглавлял Союз композиторов Москвы.
Автор 9 симфоний, 3 опер, 5 мюзиклов, 5 инструментальных концертов, музыки к более чем тридцати спектаклям и к более чем девяти десяткам фильмов (включая «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона», «Собачье сердце», «Зимняя вишня» и другим), автор многочисленных произведений камерной, программной и вокальной музыки.
На протяжении долгих лет сотрудничает с Михаилом Левитиным, создает музыку для его спектаклей, начиная с «Синей птицы» (Рижский ТЮЗ, 1968 год) и «Мокинпотта…» (Театр на Таганке, 1969 год). В «Эрмитаже» создал музыку для спектаклей «Когда мы отдыхали…», «Хармс! Чармс! Шардам! или Школа клоунов», «Мы собрались здесь», «Сонечка и Казанова», «Зойкина квартира», «Снимок бога» («Эрендира и ее бабка»), «Уроки русского по Михаилу Жванецкому», «Под кроватью», «Азеф», «Изверг», «Пир во время ЧЧЧумы. Фрагменты», «Тайные записки тайного советника», «Меня убить хотели эти суки», «Кураж», «„Свадьба Кречинского“ на Новом Арбате 11», «Дон Кихот», «Цари», «Меня нет дома» (в работе). «Эрмитаж» посвятил Владимиру Дашкевичу один из своих «Левых вечеров» под названием «Люди только мешают».